¿Como Surgen los Números Cuánticos de la Ecuación de Schrodinger?

Los números cuánticos surgen en el proceso de la solución de la ecuación de Schrodinger, por las restricciones o condiciones de contorno que se deben aplicar para obtener la solución que se adapta a la situación física. El caso de una partícula confinada en una caja tridimensional, puede ser usado para mostrar cómo surgen los números cuánticos.

La naturaleza de la función de onda de la mecánica cuántica es fundamental en este proceso, y es su raíz en la determinación de la probabilidad. Para una partícula en el espacio, la función de onda se puede escribir

Esta función de onda está sujeta a las limitaciones

Para una partícula libre, las direcciones x, y y z, se pueden considerar gobernadas por probabilidades independientes, y la naturaleza de la probabilidad, sugiere la posibilidad de escribir la función de onda como el producto de las densidades de la probabilidad de las tres coordenadas.

Esta anticipación proviene de la naturaleza de la probabilidad, y puede ser ilustrado por las probabilidades de dos eventos aleatorios, tales como tirar dados.

Si se conoce la probabilidad de un suceso aleatorio, entonces la probabilidad de dos de tales eventos aleatorios, es el producto de las dos probabilidades. La función de onda de arriba se escribe como el producto de las densidades de probabilidad en las direcciones x, y, y z.

Para una partícula en una caja de 3-D, supóngase que se puede escribir la función de onda como

de modo que la ecuación de Schrödinger se convierte en

Dividiendo por la función de onda FGH, esto se puede poner en la forma

Puesto que la ecuación debe ser válida para todos los valores de x, y y z, y puesto que estas coordenadas pueden variar independientemente una de otra, se sigue que cada término de la izquierda debe ser igual a una constante. Por ejemplo, se puede separar la parte x de la ecuación, e igualarla a una constante.

Esta es la fórmula para la partícula en una caja de 1 dimensión, y tiene la solución

En este proceso, se ve que el número cuántico n₁ surge de la naturaleza de la función de onda, y se obtiene su solución cuando se fuerza a adaptarse a las condiciones de contorno impuestas por el potencial. Aplicando el mismo procedimiento para las otras dos dimensiones, conduce a una solución para la función de onda

y producen los valores propios de energía que están determinados por tres números cuánticos.

La solución a la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones, son tres números cuánticos. En el caso del átomo de hidrógeno, las condiciones de contorno son muy diferentes, pero también conducen a tres números cuánticos espaciales.

Supongamos que las tres dimensiones de la caja son iguales. Las energías del estado fundamental y el primer estado excitado son

Se dice que el estado excitado está "degenerado", es decir, hay tres conjuntos de números cuánticos que dan la misma energía. La degeneración de la energía está generalmente asociada con algún tipo de simetría, en este caso es obvio que tiene una simetría cúbica. En el caso del átomo de hidrógeno, el nivel de energía del estado n=2, sólo depende del número cuántico principal. Esto significa que está degenerado con respecto al número cuántico de espín y orbital, una degeneración de 8 veces, a causa de las 8 posibles combinaciones de números cuánticos. Pero esta degeneración no es exacta, con un examen más detenido se encuentra uno con la estructura fina del hidrógeno, que implica una leve asimetría introducida por el efecto espín-órbita. Y si se aplica un campo magnético externo, el efecto Zeeman introduce más asimetría, y rompe los niveles de energía degenerados en desdoblamientos discretos.