Aplicación del Principio de Incertidumbre: Partícula en una Caja 3-D

Una idea importante que surge de la teoría cuántica es, que se necesita una gran cantidad de energía para contener una partícula en un pequeño volumen. Esta idea surge en el tratamiento de la "partícula en una caja" con la ecuación de Schrodinger, y la misma idea se encuentra aplicando el principio de incertidumbre.

Considérese una partícula de masa m que está confinada en una caja tridimensional de longitud de lado L, pero libre para moverse dentro de la caja. Se puede usar el principio de incertidumbre para estimar el valor mínimo de la energía cinética media de tal partícula.

Tomando la incertidumbre de la posición en una dimensión, como su desviación la raíz cuadrada de la media:

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entonces la incertidumbre en el momento es

La energía cinética media se puede expresar en términos del promedio del momento al cuadrado, que está relacionada con la incertidumbre del momento por

El momento promedio para el movimiento aleatorio libre de la partícula en una caja, es cero. Las coordenadas y y z son equivalentes, por lo que la energía cinética media se puede expresar como

Para esta partícula en una caja tridimensional, de dimensión