Fuerza de la Gravedad en una Esfera Hueca

Un problema clásico en mecánica es el cálculo de la fuerza de la gravedad que experimentaría una masa m, atraida por una esfera uniforme hueca de masa M. Se aplica la ley de la gravedad, pero se debe usar el cálculo diferencial para tener en cuenta el hecho de que la masa está distribuida sobre la superficie de una esfera. El problema se plantea, dividiendo en capas delgadas infinitesimalmente la superficie de la esfera de densidad σ por unidad de área. Se obtiene así anillos circulares de anchura infinitesimal.

Para establecer la integral necesaria, se usa el triángulo de arriba, donde aprovechamos la simetría del sistema. Todas las componentes de la fuerza de la gravedad perpendicular a r, se cancelarán por simetría, y todas las componentes a lo largo de r, sumarán. El elemento de fuerza diferencial sobre la masa m se puede escribir

donde el elemento diferencial de masa dM es dado por

La fuerza ejercida por la entera esfera hueca se puede expresar como una integral sobre el ángulo θ

Para evaluar la integral, las variables s y α se deben expresar en términos del ángulo θ . Usando la Ley de los cosenos con el ángulo interior θ da

y esto se puede diferenciar para dar

Ahora, usando la ley de los cosenos para el ángulo externo α:

Con estas relaciones, podemos expresar la integral en términos de s en vez de θ, usando el hecho de que s = r - R para θ = 0 y s = r + R para θ = π.

Usando la expresión de la densidad de área σ = M/4πR², la integral se puede escribir

Ahora, las partes de evalúan como integrales polinómicas y simplificada.

Este era el objetivo perseguido, para mostrar que la fuerza de gravedad de una esfera hueca es exactamente la misma fuerza como ¡si la masa entera M estuviera concentrada en un punto en el centro de la esfera!. Fisicamente, este es un resultado importante, porque cualquier distribución esférica y simétrica de masa se puede construir como una serie de tales cáscaras. Esto prueba que la fuerza de cualquier distribución de masa simétrica esférica sobre una masa exterior a su radio es la misma que si el total de la masa estuviera concentrado en punto en el centro de la esfera.