Área Bajo una Curva

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos mas pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.

Mostrar Integrales de Áreas de Geometrías Simples.

Mostrar Aproximación del Área de una Integral.

La Integral como Límite del Área

La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero.

Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar una integral, la idea de la integración es mucho mas general. Cualquier variable física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales (elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varien continuamente.

Mostrar Ejemplos de Integral de Área

Ejemplos de Integral de Área

Los ejemplos de área de geometrías simples, pueden reforzar la idea de la integral como el área bajo una curva. Para una función que es una constante a, el área formada por la función es exactamente un rectángulo.

Aquí la conclusión general es que la integral de una constante es exactamente la constante multiplicada por la variable de integración x. En una función f(x) = ax, el área es un triángulo La progresión nos lleva a la forma general de la integral como un polinomio de x:

Mostrar Geometrías Mas Complejas

Aproximaciones a la Integral de Área

El área bajo cualquier curva continua se puede obtener aproximadamente, dibujando un número de rectángulos. La integral es el límite para un número infinito de rectángulos.

Mostrar Integral Caso Límite

Ejemplos de Integral de Área

Las integrales son útiles para el cálculo del área bajo curvas, que se pueden obtener de forma aproximada, por medio de métodos geométricos.

Esta es una integral de tipo polinómico que se calcula sumando las partes integrantes.

Mostrar Aproximación Geométrica

Aplicación Cálculo Media de una Función