Distribución de Velocidades de Maxwell Directamente de la Distribución de Boltzmann

La distribución de Boltzmann es fundamental para nuestra comprensión del fenómeno molecular clásico, que nos dice que la probabilidad de encontrar una molécula cualquiera con una energía E, disminuye exponencialmente con la energía, es decir una molécula cualquiera es muy poco probable que agarre mucho más que la cuota media de la energía total disponible para todas las moléculas. Matemáticamente, la distribución de Boltzmann se puede escribir en la forma

Esta distribución se puede hacer posible mediante un ejemplo numérico, particularmente cuando se pone en forma gráfica, pero el desarrollo matemático riguroso de Boltzmann, se mantiene como un importante logro en las matemáticas de la física. Vamos a tomarlo como un postulado aquí, y demostrar que la distribución de velocidades de Maxwell se desprende de ella.

Si esta distribución se aplica a una sola dirección de la velocidad de una molécula en un gas ideal, viene a ser

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La conversión de esta fórmula en otra que exprese la probabilidad, en función de las velocidades en tres dimensiones, da como resultado la distribución de velocidades de Maxwell:

Los pasos a seguir en esta conversión son

Distribución de Velocidades en una Dimensión

Si la energía en la distribución de Boltzmann

es una energía cinética de una dimensión solamente, entonces la expresión se convierte en

Pero esta fórmula debe ser normalizada a fin de que la probabilidad de encontrar la partícula en algún valor de la velocidad sea uno. Esto se logra mediante la integración de la probabilidad de menos a más infinito y estableciéndola igual a uno. Haciendo uso de la formula de la integral definida

con la sustitución

nos permite normalizar la función:

da

Esto normaliza la función de distribución a

Kinetic Energy Distribution in Three Dimensions

We have shown that the one-dimensional energy distribution is

but would like to have a distribution for three dimensions. A basic probability idea is that for three independent events you take the product of the individual probabilities. The three-dimensional probability distribution then takes the form:

It must be noted here that while this has the form of the Boltzmann distribution for kinetic energy, it does not take into account the fact that there are more ways to achieve a higher velocity. In making the step from this expression to the Maxwell speed distribution, this distribution function must be multiplied by the factor 4pv² to account for the density of velocity states available to particles.

Speed distribution as a sum over all directions

To put the three-dimensional energy distribution into the form of the Maxwell speed distribution, we need to sum over all directions. One way to visualize that sum is as the development of a spherical shell volume element in "velocity space".

The sum over the angular coordinates is just going to give the area of the sphere, and the radial element dv gives the thickness of the spherical shell. That takes the angular coordinates out of the distribution function and gives a one-parameter distribution function in terms of the "radial" speed element dv.

An alternate, more directly mathematical approach is to make the conversion of the cartesian volume element to spherical polar coordinates.