Energía en el Big Bang y Ejemplo Temporal

En los Primeros Tres Minutos de Weinberg, la expansión del Big Bang se modela en segmentos que se caracterizan por el tiempo, la temperatura y la energía característica de las partículas. En el primer segmento caracterizado en el proceso, la temperatura es de 10¹¹ Kelvin. Dada esa temperatura, ¿como se calcula el tiempo y la energía asociada a la partícula?

La energía media asociada con una partícula en equilibrio térmico a la temperatura T es kT, donde k es la constante de Boltzmann. Así que la energía característica de la partícula a esta temperatura es

Un dato importante que tenemos es la densidad de energía en la radiación de fondo 3K, que es de aproximadamente 0,25 MeV/m³ en el momento presente. A partir de la ley de Stefan-Boltzmann, sabemos que la densidad de energía es proporcional a T⁴, por lo que se podría proyectar esa energía a una temperatura de 10¹¹ K. Pero esto sólo incluye la energía de los fotones, y en ese momento también hay neutrinos, electrones y positrones en equilibrio térmico. La energía térmica a 8,6 MeV es tan alta en comparación con el umbral de producción de pares electrón-positrón, de aproximadamente 1 MeV, que se supone se están creando continuamente. La colección de electrones y positrones es "como la radiación" estan en equilibrio térmico con los fotones y los neutrinos.

La densidad de energía conocida de la radiación de fondo de fotones, se puede escalar hasta la temperatura objetivo y ajustar para incluir los neutrinos, electrones y positrones, si en la expansión del big bang conocemos las poblaciones relativas de cada uno. A estas temperaturas elevadas, dichas poblaciones se pueden tratar estadísticamente, y establecerse el número efectivo de especies de partículas. Esas poblaciones relativas a los fotones son:

La densidad de energía en la expansión del big bang a 10¹¹K se puede calcular:

Sustituyendo esto en la ecuación de Friedman del tiempo de expansión, da

El siguiente paso en el escenario de Weinberg tiene un tiempo de 0,11 segundos y una temperatura de 3 x 10¹⁰K. Si solo se sustituye en la fórmula de arriba para esa temperatura, se obtiene el tiempo de expansión de 0,24 segundos. No me queda claro de cómo se obtiene 0,11 segundos.