Distribución de Velocidades de Maxwell Directamente de la Distribución de Boltzmann

La distribución de Boltzmann es fundamental para nuestra comprensión del fenómeno molecular clásico, que nos dice que la probabilidad de encontrar una molécula cualquiera con una energía E, disminuye exponencialmente con la energía, es decir una molécula cualquiera es muy poco probable que agarre mucho más que la cuota media de la energía total disponible para todas las moléculas. Matemáticamente, la distribución de Boltzmann se puede escribir en la forma

Esta distribución se puede hacer posible mediante un ejemplo numérico, particularmente cuando se pone en forma gráfica, pero el desarrollo matemático riguroso de Boltzmann se mantiene como un importante logro en las matemáticas de la física. Vamos a tomarlo como un postulado aquí y demostrar que la distribución de velocidades de Maxwell se desprende de ella.

Si esta distribución se aplica a una sola dirección de la velocidad de una molécula en un gas ideal, viene a ser

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La conversión de esta fórmula en otra que exprese la probabilidad en función de las velocidades en tres dimensiones, da como resultado la distribución de velocidades de Maxwell:

Los pasos a seguir en esta conversión son

Conversión a Probabilidad en tres Dimensiones
Suma sobre todas las Direcciones Espaciales
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Distribución de Velocidades en una Dimensión

Si la energía en la distribución de Boltzmann


es una energía cinética de una dimensión solamente, entonces la expresión se convierte en


Pero esta fórmula debe ser normalizada a fin de que la probabilidad de encontrar la partícula en algún valor de la velocidad sea uno. Esto se logra mediante la integración de la probabilidad de menos a más infinito y estableciéndola igual a uno. Haciendo uso de la formula de la integral definida

con la sustitución

nos permite normalizar la función:

da

Esto normaliza la función de distribución a


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Distribución de la Energía Cinética en tres Dimensiones

Hemos demostrado que la distribución de energía unidimensional es


pero nos gustaría tener una distribución de tres dimensiones. Una idea de la probabilidad básica es que para tres eventos independientes se toma el producto de las probabilidades individuales. Luego la distribución de probabilidad en tres dimensiones toma la forma:


Hay que señalar aquí que, si bien esto tiene la forma de la distribución de Boltzmann para la energía cinética, no tiene en cuenta el hecho de que hay más maneras de alcanzar una mayor velocidad. Al hacer el pase de esta expresión a la distribución de velocidad de Maxwell, esta función de distribución debe multiplicarse por el factor 4pv2 para tener en cuenta la densidad de estados de velocidad disponibles para las partículas.

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Distribución de la Velocidad como Suma sobre Todas las Direcciones

Para poner la distribucion de energía tridimensional en la forma de la distribución de velocidad de Maxwell, necesitamos sumar la de todas las direcciones. Una forma de visualizar dicha suma es tomando el desarrollo de un elemento del volumen de una capa esférica en el "espacio de velocidad".


La suma respecto de las coordenadas angulares va a darnos justamente el área de la esfera, y el elemento radial dv da el espesor de la capa esférica. Esto deja fuera de la función de distribución las coordenadas angulares y da una función de distribución de un parámetro en función del elemento de velocidad "radial" dv.


Una alternativa como enfoque matemático más directo es hacer la conversión del elemento de volumen cartesiano a coordenadas polares esféricas.


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