Vista Microscópica de la Ley de Ohm

Cuando la corriente eléctrica en un material es proporcional al voltaje a través de él, se dice que es un material óhmico, o que obedece la ley de Ohm. Una vista microscópica, sugiere que esta proporcionalidad viene del hecho de que el campo eléctrico aplicado (por el voltaje), le superpone una pequeña velocidad de desplazamiento a los electrones libres del metal. Para corrientes ordinarias esta velocidad de desplazamiento es del orden de milímetros por segundo, en contraste con la propia velocidad de los electrones, que es del orden de un millón de metros por segundo. Incluso la propia velocidad del electrón es pequeña, comparada con la velocidad de transmisión de una señal eléctrica por un cable, que es del orden de la velocidad de la luz; 300 millones de metros por segundo.

La densidad de corriente (corriente eléctrica por unidad de área, J=I/A) se puede expresar en términos de la densidad de electrones libres como

El número de átomos por unidad de volumen (y el número de electrones libres por átomo como el cobre, que tiene un electrón libre por átomo) es

De la forma estándar de la ley de Ohm y de la resistencia en términos de la resistividad:

El siguiente paso es relacionar la velocidad de desplazamiento con la velocidad del electrón, que se puede aproximar mediante la velocidad de Fermi:

Tabla

La velocidad de desplazamiento, se puede expresar en términos del campo eléctrico, la masa del electrón y el tiempo característico entre colisiones.

La conductividad del material, se puede expresar en términos de la velocidad de Fermi y del camino libre medio del electrón en el metal.

Tabla
Ejemplo Numérico para el CobreTabla de Resistividades
Tabla de Densidades de Electrones Libres
Índice
 
HyperPhysics*****Electricidad y MagnetismoM Olmo R Nave
Atrás





Vista Microscópica del Conductor de Cobre

Como ejemplo de la vista microscópica de la ley de Ohm, se va a examinar los parámetros para el cobre. Con un electrón libre por átomo en su estado metálico, la densidad de electrones para el cobre se puede calcular de su densidad de materia y su masa atómica.

La energía Fermi para el cobre es de unos 7 eV., de modo que la velocidad de Fermi es

La densidad del cobre medida a 20°C is

El camino libre medio de un electrón bajo estas condiciones, se puede calcular de

La velocidad de desplazamiento depende del campo eléctrico aplicado. Por ejemplo, un hilo de cobre de 1 mm. de diámetro y un metro de longitud, al que se tiene aplicado 1 voltio, nos lleva a los siguientes resultados.

Para un voltio aplicado, da una intensidad de 46.3 Amperios y una densidad de corriente

Esto corresponde a una velocidad de desplazamiento de solamente milímetros por segundo, en contraste con la alta velocidad de Fermi para los lectrones.

¡Peligro! ¡No intente esto en el hogar! El Dr. Beihai Ma de Argonne National Laboratory, escribió para señalar que la densidad de corriente de 5.900 A/cm2 de este ejemplo, es unas diez veces la densidad de corriente de 500 A/cm2 que normalmente puede soportar el cobre a 40°F. Así que hacer esto en el laboratorio puede ser muy emocionante. Gracias por las comprobaciones al Dr. Ma.

(Si reducimos el voltaje aplicado de manera que la corriente sea exactamente 3 Amperios, la densidad de corriente será de 382 A/cm2, de modo que el hilo de cobre permanecerá intacto y la velocidad de desplazamiento calculada es exactamente 0.00028 m/s. Estos datos son mas típicos para estas condiciones de trabajo.)

Índice
 
HyperPhysics*****Electricidad y MagnetismoM Olmo R Nave
Atrás





Densidad de Electrones Libres en un Metal

La densidad de electrones libres en un metal es un factor que determina su conductividad eléctrica. A escala microscópica determina el comportamiento de los metales en la ley de Ohm. Puesto que los electrones son fermiones y obedecen el principio de exclusión de Pauli, entonces a 0º K de temperatura, los electrones ocuparán todos los niveles de energía disponibles hasta el nivel de Fermi. De esta forma, la densidad de electrones libres de un metal, está relacionado con el nivel de Fermi y se puede calcular de

Mostrar

Un metal con una energía de Fermi EF = eV
tendrá una densidad de electrones libres n = x10^ /m3.

Tabla de Energías Fermi

Alternativamente, si puede identificar el número de electrones por átomo que participa en la conducción, entonces se puede deducir la cantidad de electrones libres a partir de la masa atómica y de la densidad del material.

Tabla Periódica de Elementos

Un metal con una densidad de materia ρ = kg/m3
y masa atómica A = x10-3 kg/mol
tendrá un número de átomos por unidad de volumen n' = x10^ /m3.

El número de átomos por unidad de volúmen multiplicado por el número de electrones libres por átomo, deberá estar de acuerdo con la densidad de electrones libres de arriba.

Aunque estos dos enfoques deberían estar de acuerdo, sería instructivo examinar ambos para ver la consistencia.

Considere el elemento zinc con una energía de Fermi tabulada de 9.47 eV. Esto nos lleva a una densidad de electrones libres de

De la tabla periódica, la densidad del zinc es 7140 kg/m3 y su masa atómica es 65.38 gm/mol. Entonces, el número de átomos por unidad de volúmen es

El número de electrones libre por átomo de zinc para hacer consistente esto, es

Este es el número que deberíamos esperar de la configuración de electrones del zinc, (Ar)3d104s2 , de modo que estos dos enfoques para la densidad de electrones libres en un metal, son consistentes.

Índice
 
HyperPhysics*****Electricidad y MagnetismoM Olmo R Nave
Atrás