Separación de la ecuación Radial

Sustituyendo la fórmula

en la ecuación de Schrodinger del hidrógeno, permite expresar todas las derivadas parciales, como derivadas ordinarias. Por sustitución directa y un poco de reagrupamiento, da

Téngase en cuenta que los dos primeros términos sólo contienen la variable r, y los términos restantes contienen las variables angulares. Puesto que la ecuación debe ser válida para todos los valores de estas variables, la colección de los términos radiales debe ser igual a una constante. Esto separa la ecuación radial. La suma de los términos angulares por lo tanto, debe ser igual al negativo de la constante. Asimismo, los términos de los dos ángulos por separado, deben ser igual a una constante, ya que deben mantenerse válidos para todos los valores del ángulo. Esto separa las dos partes angulares, en las ecuaciones de colatitud y azimutal.

La Ecuación Radial

De la separación de la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno, la ecuación radial es:

A fin de separar las ecuaciones, la parte radial se establece igual a una constante, y la forma de la constante de arriba a la derecha, refleja la naturaleza de la solución de la ecuación de colatitud que produce el número cuántico orbital.

La solución de estas ecuaciones bajo las limitaciones impuestas a la función de onda, conduce a unas soluciones en forma de series de polinomios, llamadas funciones asociadas de Laguerre. Con el fin de adaptarse a las condiciones límites físicas, estas soluciones contienen un parámetro n, que puede tomar sólo valores enteros positivos; este parámetro se denomina número cuántico principal. La fórmula de las soluciones radiales es

donde L_n,l es la función asociada de Laguerre. Las primeras pocas funciones de las ondas radiales R, son conocidas como parte de las funciones de onda del hidrógeno.

El Número Cuántico Principal

El número cuántico principal o número cuántico total n, surge de la solución de la parte radial de la ecuación de Schrodinger del átomo de hidrógeno. Las energías de estado de enlace del electrón en el átomo de hidrógeno están dadas por

En la notación de la tabla periódica, las principales capas de electrones son denominadas K(n=1), L(n=2), M(n=3), etc. basadas en el número cuántico principal.