Densidad de Energía del Fotón

El comportamiento de un conjunto de fotones, depende de la distribución de energía entre los fotones:

Como los fotones son bosones, la función de distribución, es la distribución de Bose-Einstein

donde la constante de normalización para los fotones tiene el valor A = 1.

Esta distribución determina la probabilidad de que sea ocupado un estado de energía dado, pero debe ser multiplicado por la función de densidad de estados, para ponderar la probabilidad, por el número de estados disponibles a una determinada energía.

La determinación de cuántas formas hay de obtener una energía, en un intervalo incremental de energía dE, puede abordarse como el número de ondas estacionarias posibles en una caja cúbica, la cual, es proporcionada por la relación siguiente

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Esquema Rayleigh para contar modos. De Richtmyer, et al.

El tratamiento de los "números cuánticos" n como un espacio tal, que un conjunto dado de n valores determina un punto en ese espacio, sirve para argumentar que el número de estados posibles, es proporcional al "volumen" en el "espacio-n". Es conveniente definir el radio R en el espacio-n:

Utilizando la energía del fotón

la energía se puede expresar en términos de R y viceversa.

El espacio-n asociado con las soluciones de onda estacionaria, contiene sólo valores positivos de n, por lo que el volumen debe ser dividido por 8. A continuación, debe multiplicarse por 2 para tener en cuenta los dos planos de polarización de los fotones. El número de valores es entonces

El número de estados por volumen unitario es

La densidad de estados final como función de la energía, es entonces la derivada de esta población con respecto a la energía

Esto representa el número de fotones por unidad de volumen por unidad de energía, a una energía E. Esta densidad de energía es un factor en la radiación térmica de una cavidad. Téngase en cuenta, que el resultado es independiente de la dimensión L, que se eligió arriba, demostrando que la expresión puede ser aplicada a una región del espacio en el equilibrio.

La densidad de estados en términos de la frecuencia o de la longitud de onda, puede obtenerse expresando el número de estados por unidad de volumen, en términos de frecuencia o longitud de onda. Luego, tomando la derivada apropiada, la pone en la forma de uso común en el tratamiento de la radiación de cuerpo negro.