Valor de Radiación de una Moneda de Nickel
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Como ejemplo de cosas que se pueden modelar con la fórmula de radiación de Planck, consideremos las siguientes preguntas:
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Las propiedades medidas del nickel son diámetro = 2,14 cm, grosor 0,2 cm, masa 5,1 gramos. Esto da un volumen de 0,719 cm3 y un área de superficie de 8,54 cm 2. Esto da una densidad calculada de 7,09 gm/cm3 frente a una densidad de 8,9 gm/cm3 del elemento puro, según la tabla periódica. De modo que una de dos, el material no es nickel puro, estando en aleación con algún elemento mas ligero, o la medida del grosor es errónea, lo cual es una posibilidad real.
1. ¿Cuanta energía radiante por segundo, proviene de un nickle a temperatura ambiente?
De la ley de Stefan Boltzmann, se puede calcular la radiación de la superficie del nickel. La temperatura ambiente se toma como 22°C = 295ºK. Suponiendo un radiador ideal para este ejemplo, la potencia irradiada es
P = σAT4 = (5,67 x 10-8 W/m2K4)x(8,54 x 10-4 m2)x(295ºK)4 = 0,367 vatios.
Asi pues, la potencia irradiada del nickel a la temperatura ambiente es de unos 0,37 vatios.
2. ¿Cuantos fotones por segundo parten del nickel?
Como conocemos la energía, podemos dividirla por la energía media del fotón. No conocemos la media verdadera, pero la longitud de onda del pico de la curva de radiación del cuerpo negro, es un valor representativo que se puede usar como una estimación. Este se puede obtener de la ley de desplazamiento de Wien.
λPico = 0,0029 mºK/295ºK = 9,83 x 10-6 m = 9830 nm, en el infrarrojo.
La energía por fotón en este pico, se puede obtener de la fórmula de Planck.
Efotón = hυ = hc/λ = 1240 eV nm/ 9830 nm = 0,126 eV
Luego el número de fotones por segundo es
N = (0,367 J)/(0,126 eV x 1,6 x 10-19 J/eV) = 1,82 x 1019 fotones
3. ¿Que volumen de aire tendría la energía equivalente a un segundo de radiación del nickel?
La energía cinética de traslación de una molécula de aire, se puede obtener de la equipartición de energía y de la definición de la temperatura cinética.
El número de moléculas para igualar un segundo del valor de radiación es por tanto
El volumen por molécula de aire se puede encontrar usando el hecho de que una mol de gas ideal ocupa 22,4 litros a STP. Usando la ley de gas ideal
Vmolécula de aire = (22,4 x 10-3 m3)(295ºK/273ºK)/(6,02 x 1023 moléculas/mol) = 4,02 x 10-26m3
Volumen de aire que tiene 0,367 J =(4,02 x 10-26m3)(6,0 x 1019 moléculas) = 2,41x 10-6m3
Así pues, el pequeño volumen de unos 2,4 cm3 de aire, tendrá la energía cinética igual a la cantidad de energía irradiada del nickel por segundo.
4. ¿Que volumen de habitación tendría una energía de radiación igual a un segundo de radiación del nickel?
La fórmula de Stefan-Boltzmann tambien relaciona la densidad de energía en la radiación en un volumen determinado de espacio. La densidad de energía es
4σAT4/c = 4(5,67 x 10-8 W/m2K4)x(295º K)4/(3 x 108m/s)
Densidad de energía en la radiación = 5,73 x 10-6J/m3
De modo que el volumen requerido es (0,367 J)/(5,73 x 10-6J/m3) = 64000 m3. Este es el volumen de un cubo de 40 metros por lado. Dimensión de 40x40x40 m.
Las moléculas de aire en un volumen de aire equivalente a unas tres veces el volumen del níquel, tienen energía cinética igual a la radiación del níquel, pero para igualar esa cantidad se necesitaría el contenido de radiación de un gran auditorio. La proporción de la energía por unidad de volumen en la energía cinética molecular es 10 veces más que en la radiación.Las moléculas de aire en un volumen de aire equivalente a unas tres veces el volumen del níquel, tienen una energía cinética igual a la radiación del níquel, pero para igualar esa cantidad se necesitaría el contenido de radiación de un gran auditorio. En la energía cinética molecular, la proporción de la energía por unidad de volumen es 1010 veces la de la radiación.
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