Relación de la Velocidad de Partícula con la Altura

Las moléculas que finalmente están mas alta en la atmósfera, lo son porque poseen una mayor energía cinética para convertirla en energía potencial gravitacional en alguna escala de tiempo. (No importa el hecho de los miles de millones de colisiones en su camino hacia esa altura. En una escala de tiempo muy corta entre colisiones, algunas alcanzarán incrementalmente mas altura que otras, desde sus puntos de partidas. Aquí consideramos esa incremental ganancia de altura.)

Si tenemos una población de partículas que tienen suficiente energía para llegar a la altura z:

entonces, la población con una velocidad un poco más alta, puede llegar un poco más alto.

Relación del Flujo de Partículas con la Distribución de Velocidades

El número de partículas que viajan desde z a z + dz por unidad de tiempo, se puede relacionar con la distribución de velocidades f(v). El número de partículas por volumen unitario disponible para el recorrido es

Para una velocidad dada v_z, el número de partículas que podrían hacerlo, está dado por el número por volumen unitario, multiplicado por el volumen barrido

La expresión general para el cambio en la población (puesto en forma diferencial) es:

De modo que se ve que el flujo es proporcional a la velocidad ascendente.

Relación de la Distribución de Velocidades con la Fórmula Barométrica

La diferencia en la población de partículas con la altura de la fórmula barométrica es

que debe ser impulsada por la energía disponible para la distribución. El cambio diferencial con la altura es

y se puede relacionar con el cambio neto del flujo de partículas

Para estas pequeñas excursiones en z, que se eligen lo suficientemente pequeñas para que no se produzcan colisiones, se puede relacionar la altura z alcanzada, con la energía cinética de las partículas:

Se utiliza la constante C, para agrupar los factores de escala.

La Fórmula de la Distribución de Velocidades

La fórmula de la distribución de velocidades en una dimensión, se puede tomar de la distribución de Boltzmann, en términos de la energía cinética de las partículas. Aquí intentamos argumentar la plausibilidad de obtención de esa fórmula por la específica correlación con la fórmula barométrica, de la cual hemos obtenido:

Puesto que la integral sobre todos los valores de las velocidades debe ser igual a 1, la expresión se puede normalizar

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Este es el paso final de un ejercicio encaminado a demostrar, que se puede llegar a la distribución de Boltzmann, comenzando con dos observaciones experimentales: la equipartición de la energía y la fórmula barométrica. No es en ningún sentido una derivación de la distribución de Boltzmann, sino un ejercicio más para mostrar la propia consistencia de una relación importante en la naturaleza, de la que dependemos en gran medida en el estudio de la termodinámica y la teoría cinética.

La Distribución de Velocidades en 3 Dimensiones

La fórmula de la distribución de velocidades en una dimensión, se puede tomar de la distribución de Boltzmann, en términos de la energía cinética de las partículas. Aquí intentamos argumentar la plausibilidad de obtención de esa fórmula por la específica correlación con la fórmula barométrica, de la cual hemos obtenido: