Umbral para los Efectos Relativistas

¿A que energía es relativista una partícula? Es conveniente conocer los rangos de energías en los que las aproximaciones no relativistas son suficientemente buenas. Las energías a las que las expresiones no relativistas de las cantidades mecánicas de electrones y protones, tienen un error del 1%, es un umbral razonable para el tratamiento relativista.

El momento relativista p = mv = γm0v difiere en un 1% de la expresión no relativista, cuando γ = 1,01. Esto ocurre para β = 0,14 o v = 0,14 c. La energía cinética a esta velocidad es (γ - 1)m0c2 = 0,01m0c2. Entonces, el umbral del 1% es 5,11 keV para los electrones y 9,38 MeV para los protones. En las partículas alfa, el umbral del 1% para el momento es a 37,27 MeV. Aplicado a energías de decaimiento radiactivo de alrededor de 1-10 MeV, esto sugiere que esencialmente todos los electrones del decaimiento beta son relativistas, pero no las partículas alfa.

La energía cinética relativista

difiere de la forma no relativista de la energía cinética en un 1% cuando

Resolviendo numéricamente esto, da γ = 1,00673, de modo que el umbral para el error del 1% en los electrones es 3,4 keV y para los protones es 6,3 MeV.

Echando otro vistazo al momento relativista, la expresión de pc exacta en términos de energía cinética es

pero para bajas energías, el cuadrado de la energía cinética en esta expresión se puede despreciar, dando la mas simple expresión aproximada

Esta expresión mas simple tiene una precisión del 1% en los electrones cuando su KE<20,7 keV, y para los protones cuando su KE<38 MeV.

Mirando al caso extremo relativista, la energía de la partícula se puede aproximar por la expresión de la energía del fotón E = hc/l = pc, donde la energía de la masa en reposo es despreciable en comparación con la energía cinética. Esta expresión tiene una precisión dentro del 1% cuando

La aproximación E=pc tiene una precisión de menos del 1% para los electrones cuando pc > 3,6 MeV y para los protones cuando pc > 6,6 GeV.