Rotacional y Lineal. Ejemplos

Se coloca una masa m, en una barra de longitud r y masa despreciable, y se le obliga a girar alrededor de un eje fijo. Si la masa se la libera de una orientación horizontal, podemos describir su movimiento en términos de fuerza y aceleración con la segunda ley de Newton para movimiento lineal, o como una rotación pura sobre el eje con la segunda ley de Newton para la rotación. Esto proporciona un marco para la comparación sobre un mismo sistema, de las cantidades lineales y de rotación. Este proceso nos lleva a la expresión del momento de inercia de una masa puntual.

Momento de Inercia: Varilla

Para una varilla uniforme de grosor despreciable, el momento de inercia sobre su centro de masa es

Para una masa M = kg y longitud L = m, el momento de inercia es I = kg m² Mostrar

El momento de inercia de una varilla sobre su extremo, se puede calcular directamente, u obtenerse de la expresión del centro de masa, usando el teorema de los ejes paralelos.

El momento de inercia sobre el extremo de la varilla es I = kg m². Mostrar

Si el grosor no es despreciable, entonces se puede usar la expresión del momento de inercia de un cilindro sobre su extremo.

Momento de Inercia: Varilla

El cálculo del momento de inercia de una varilla sobre su centro de masa es un buen ejemplo de la necesidad del cálculo, frente a las propiedades de la distribución continua de masa. El momento de inercia de una masa puntual está dado por I = mr², pero la varilla, se podría considerar que tiene un infinito número de masas puntuales y cada uno de ellos debe ser multiplicado por el cuadrado de su distancia al eje. La suma infinita se llama una integral. La forma general para el momento de inercia es:

Cuando el elemento de masa dm se expresa en términos del elemento longitud dr a lo largo de la varilla y se toma la suma sobre la longitud de la varilla entera, la integral toma la forma:

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Cálculo del Momento de la Varilla

El cálculo del momento de inercia para una varilla uniforme consiste en expresar cualquier elemento de masa dm en términos de elemento de distancia dr a lo largo de la varilla. Para realizar la integral, es necesario expresar todo lo que haya en la integral en términos de una variable, en este caso la variable de longitud r. Dado que el total de longitud L tiene masa M, entonces M / L es la proporción de masa sobre longitud y entonces el elemento de masa dm se puede expresar como se muestra. La integral es de tipo polinómico:

Momento de la Varilla sobre su Extremo

Una vez que se ha determinado el momento de inercia de un objeto sobre su centro de masa, el momento sobre cualquier otro eje se puede calcular, por medio del teorema de ejes paralelos:

En este caso, esto viene a ser

Esto se puede confirmar por la integración directa.