Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli, se puede considerar como una apropiada declaración del principio de la conservación de la energía, para el flujo de fluidos. El comportamiento cualitativo que normalmente evocamos con el término "efecto de Bernoulli", es el descenso de la presión del líquido en las regiones donde la velocidad del flujo es mayor. Este descenso de presión por un estrechamiento de una vía de flujo puede parecer contradictorio, pero no tanto cuando se considera la presión como una densidad de energía. En el flujo de alta velocidad a través de un estrechamiento, se debe incrementar la energía cinética, a expensas de la energía de presión.

Advertencia sobre el flujo en estado estacionario: Si bien la ecuación de Bernoulli se afirma en términos de ideas universalmente válidas, como son la conservación de la energía y las ideas de presión, energía cinética y energía potencial, su aplicación en la fórmula de arriba se limita a los casos de flujo constante. Para el flujo a través de un tubo, tal flujo puede ser visualizado como un flujo laminar, que todavía es una idealización, pero si el flujo es una buena aproximación laminar, entonces puede ser modelada y calculada la energía cinética del flujo en cualquier punto del fluido. El término energía cinética por unidad de volumen en la ecuación, es el que requiere estrictas restricciones para que se pueda aplicar en la ecuación de Bernoulli - que básicamente es la suposición de que toda la energía cinética del fluido está contribuyendo directamente al proceso de avance del flujo del fluido -. Ello debería hacer evidente que la existencia de turbulencias o cualquier movimiento caótico del fluido implicaría que algo de la energía cinética no est‡ contribuyendo al avance del fluido a través del tubo.

También hay que decir que, si bien la conservación de la energía se aplica siempre, esta forma de analizar la energía, no describe ciertamente cómo se distribuye esa energía bajo condiciones transitorias. Una buena visualización del efecto Bernoulli es el flujo a través de un estrechamiento, pero esa imagen "aseada" no describe el fluido cuando se inicia por primera vez.

Otra aproximación implicada en la declaración de la ecuación de Bernoulli anterior es prescindir de las pérdidas por fricción del fluido. El flujo laminar idealizado a través de una tubería puede ser modelado por la Ley de Poiseuille, que sí incluye las pérdidas viscosas, cuyo resultado en una disminución de la presión a medida que avanza a lo largo de la tubería. La declaración de la ecuación de Bernoulli anterior llevaría a la expectativa de que la presión una vez pasado el estrechamiento volvería al valor P1, ya que el radio vuelve a su valor original. Y este no es el caso debido a la pérdida de algo de energía en el proceso de flujo activo, por la fricción en el movimiento molecular desordenado (energía térmica). Se puede hacer un modelado mas preciso mediante la combinación de la ecuación de Bernoulli con la ley de Poiseuille. Un ejemplo real que podría ayudar a visualizar el proceso es el control de la presión del flujo a través de un tubo estrechado.

Cálculo de Bernoulli

Ahora bien, si puede tragar todos esos supuestos, se puede modelar el flujo en un tubo *. Cuando el caudal de volumen es = cm³/s y la densidad de fluido es ρ = gm/cm³. Para un área del tubo de entrada A₁= cm² (radio r₁ =cm), la geometría del fluido nos conduce a una velocidad efectiva de flujo de v₁ =cm/s. Puesto que la ecuación de Bernoulli incluye la energía potencial del fluido así como la altura del tubo de entrada, especificada como h₁ = cm. si el área del tubo se estrecha a A₂=cm² (radio r₂ = cm), entonces, sin mas supuestos, la velocidad efectiva de fluido en el estrechamiento debe ser v₂ = cm/s. La altura del tubo estrecho se especifica como h₂ = cm.

Ahora se puede calcular, la densidad de energía cinética en los dos lugares del tubo, y aplicando la ecuación de Bernoulli, con la limitación de conservar la energía en el proceso, nos da así un valor para la presión en el estrechamiento. Primero, especificamos una presión en el tubo de entrada:
Presión de entrada = P₁ = kPa = lb/in² = mmHg = atmos.
Se pueden calcular ahora las densidades de energía. La unidad de energía usada en el sistema CGS es el ergio.

Densidades de energía en el tubo de entrada Densidad de energía cinética = erg/cm3 Densidad de energía potencial = erg/cm3 Densidad de energía de presión = erg/cm3

Densidades de energía en el estrechamiento del tubo Densidad de energía cinética = erg/cm3 Densidad de energía potencial = erg/cm3 Densidad de energía de presión = erg/cm3

La densidad de energía de presión en el estrechamiento del tubo, se puede convertir finalmente en unidades de presión mas convencionales, para ver el efecto del estrechamiento del flujo, sobre la presión del fluido:

Presión calculada en el estrechamiento =
P₂= kPa = lb/in² = mmHg = atmos.

Este cálculo puede dar la perspectiva de la energía que participa en el flujo de fluido, pero su precisión es siempre sospechosa, debido a la suposición de flujo laminar. Para condiciones típicas en la entrada, la densidad de energía asociada con la presión, será dominante en el lado de la entrada, después de todo vivimos en el fondo de un mar atmosférico que aporta una gran cantidad de energía de presión. Si se usa una reducción suficientemente grande del radio, para producir una presión en el estrechamiento, que sea menor que la presión atmosférica, es casi seguro que se producirá alguna turbulencia en el flujo dentro del estrechamientot. Sin embargo, el cálculo puede mostrar por qué podemos obtener una cantidad significativa de succión (presión inferior a la atmosférica), con un aspirador montado sobre una boquilla de alta presión. Estos dispositivos constan de un tubo de metal de radio reducido, con un tubo lateral introducido dentro de la región del estrechamiento, para la succión.

* Nota: Serán introducidos algunos valores por defecto a medida que empiece a explorar el cálculo. Todos ellos se pueden cambiar como parte de su cálculo.

Curva en una Pelota de Béisbol

Una pelota de béisbol no giratoria o estacionaria, sobre una corriente de aire, mostrará un flujo simétrico. Una pelota de béisbol que se lance con giro, se curvará porque uno de sus lados, experimentará una presión reducida. Esto es interpretado comunmente, como una aplicación del principio de Bernoulli, e implica la viscosidad del aire y la capa límite del aire en la superficie de la bola.

¡La rugosidad de la superficie de la bola y los cordones de la pelota son importantes! Con una bola perfectamente lisa, no se consigue interacción con el aire.

Hay algunas dificultades con la imagen de esta curva de béisbol. La ecuación de Bernoulli en realidad no se puede utilizar para predecir la cantidad de curvatura de la pelota, el flujo del aire es compresible, y no se puede seguir los cambios de densidad para cuantificar el cambio en la presión efectiva. El trabajo experimental de Watts y Ferrer con pelotas de béisbol en un túnel de viento, sugiere otro modelo que da atención destacada a la capa límite de aire girando alrededor de la pelota de béisbol. En el lado de la bola, en donde la capa límite se está moviendo en la misma dirección que la velocidad de la corriente de aire libre, (en la figura en la parte de abajo de la pelota) esta capa límite está más cerca de la bola antes de separarse en un flujo turbulento. Por el lado donde la capa límite, se opone al flujo libre de aire, (lado superior en la figura), tiende a separarse prematuramente. Estas dos acciones conjuntamente, proporciona una desviación neta del flujo de aire en una dirección por detras de la pelota, y por lo tanto por la tercera ley de Newton, una fuerza de reacción sobre la pelota en la dirección opuesta. Con esto se da un fuerza efectiva en la dirección que se indica arriba.

Cuestiones similares se plantean en el tratamiento de un cilindro que gira en una corriente de aire, que se ha demostrado que experimenta elevación. Este es el tema del teorema Kutta-Joukowski. También se plantea en el debate de la sustentación aerodinámica.

Airfoil

El aire a través de la parte superior de una superficie aerodinámica convencional, experimenta un estrechamiento de las líneas de flujo e incrementa la velocidad relativa del aire en el ala. Este causa una disminución de la presión en la parte superior de acuerdo con la ecuación de Bernoulli y produce una fuerza de sustentación. La aerodinámica (ver Eastlake) usa el modelo de Bernoulli para relacionar las medidas de presión realizadas en los túneles de viento y afirman que cuando se realizan las medidas de presión en varios lugares alrededor de la superficie de sustentación y se suman, están razonablemente de acuerdo con la elevación observada.

Ilustración de Fuerza de Sustentación y ángulo de ataque Bernoulli vs Newton para la elevación aerodinámica Terminología del Airfoil

Otros apelan al modelo basado en la ley de Newton y afirman que la sustentación principal, viene como resultado del ángulo de ataque. Parte del modelo de la ley de Newton de una parte de la fuerza de sustentación, implica la fijación de la capa límite de aire sobre la parte superior del ala, con el resultado de una caída de flujo de aire por detrás del ala. Si el ala le da al aire una fuerza hacia abajo, entonces por la tercera ley de Newton, el ala experimenta una fuerza en la dirección opuesta -elevación-. Mientras continua el debate "Bernoulli vs Newton", la posición de Eastlake es que ambas son realmente equivalentes, sólo son diferentes enfoques sobre el mismo fenómeno físico. La NASA tiene una agradable página de aerodinámica en el que se discuten estos temas. El incremento del ángulo de ataque, proporciona una mayor elevación proveniente de la componente vertical de la presión ejercida sobre la parte de abajo del ala. Esa fuerza de elevación, puede considerarse como una fuerza de reacción derivada mediante la tercera ley de Newton por la fuerza que ejerce hacia abajo el ala sobre el aire. Con un ángulo de ataque demasiado alto, se incrementa drásticamente la turbulencia del flujo y la aeronave entra en pérdida.

Una estela de vapor sobre el ala, ayuda a visualizar el flujo de aire. Foto por Frank Starmer, usada con permiso.