El Valor Esperado

El valor que se espera obtener de un experimento estadístico se llama el valor esperado. Tambien llamado "esperanza matemática". Tambien lo llamamos "media" y esta es la palabra que vamos a seguir usando. Si tiramos una moneda 10 veces, esperamos que salga 5 veces "cara" y 5 veces "cruz". Esperamos obtener este valor porque la probabilidad de que salga "cara" es 0,5, y si lanzamos la moneda 10 veces, obtenemos 5. Por lo tanto, 5 es la media. Para formalizar este particular ejemplo de la media, si p es la probabilidad y n el número de eventos, la media es a = np. Esta es la forma de la media cuando se puede expresar la probabilidad por medio de la distribución binomial.

Para formalizar el concepto un poco mas, en un experimento con resultados discretos x_i para los cuales la probabilidad es P(x_i), la media estará dada por

En el caso de variables continuas donde se expresa la probabilidad en términos de una función de distribución, la media toma la forma

La Media de la Distribución Binomial

El valor medio de la distribución binomial es a = np donde n es el número de eventos y p es la probabilidad de cada evento.

Distribución binomial:

Media:

Esto parece una expresión muy simple para la media de una función complicada, pero el resultado está de acuerdo con nuestra intuición. Si se lanza un dado, con la esperanza de sacar un "2", entonces la probabilidad es 1/6. Si lo lanzamos 6 veces, se puede esperar obtener una tirada con el valor "2". La media o valor esperado de 6 tiros es (1/6) (6) = 1. La prueba de que tal expresión simple es la media real, es bastante complicada. El siguiente enfoque se basa en el apéndice D de la física moderna de Rohlf.

De la definición de la media usando una función de distribución, la media binomial es

El objetivo es reducir esta expresión a solamente np. Puesto que el primer término de este sumatorio es cero (para x=0), podemos reemplazar esta suma por otra que empiece desde 1.

Ahora cancelamos los factores comunes de x que aparecen en el numerador y en el denominador.

Puesto que el índice del sumatorio es una variable auxiliar, hacemos el cambio de variable x' = x - 1.

Ahora sacamos factor común np.

Los términos del sumatorio de arriba son exactamente los de la función binomial para n-1 intentos, y estamos sumandolo sobre todos los valores de x, por lo que la suma debe ser exactamente 1. La expresión queda entonces reducida a la expresión que buscamos para la media.

Media de la distribución binomial.

Como las distribuciones gausiana y de Poisson son aproximaciones a la distribución binomial, esta expresión de la media tambíen se aplica a aquellas.