Radio Mas Probable
Estado Fundamental del Hidrógeno

La densidad de probabilidad radial del estado fundamental del hidrógeno, se obtiene multiplicando el cuadrado de la función de onda por un elemento de volumen de capa esférica. Toma esta forma comparativamente simple, porque el estado 1s es esféricamente simétrico, y no aparecen términos angulares.

Dejando los términos constantes, tomando la derivada con respecto a r, y estableciendola igual a cero, da el radio de máxima probabilidad.

el cual da

donde

El radio mas probable, es el radio del estado fundamental obtenido de la teoría de Bohr. La ecuación de Schrodinger confirma el primer radio de Bohr, como el radio mas probable, pero va mas alla y describe en detalle, el perfil de probabilidad para el radio del electrón.

El Valor Esperado del Radio
Estado Fundamental del Hidrógeno

El promedio o "valor esperado" del radio del electrón en el estado fundamental del hidrógeno, se obtiene de la integral

Esto requiere una integración por partes. La solución es

Todos los términos que contienen r son cero, dejando

Puede parecer un poco sorprendente que el valor medio de r sea 1,5x, el primer radio de Bohr, que es el valor más probable. La cola extendida de la densidad de probabilidad, hace que la media sea mayor que el valor más probable.