El Nivel de Fermi

A temperaturas más altas, existirá una cierta fracción caracterizada por la función de Fermi, por encima del nivel de Fermi. El nivel de Fermi juega un papel importante en la teoría de bandas de sólidos. En los semiconductores dopados de tipo p y tipo n, el nivel de Fermi se desplaza por las impurezas, segun lo ilustran bandas prohibidas. El nivel de Fermi se conoce en otros contextos como el potencial químico de electrones.

En los metales, el nivel de Fermi proporciona información sobre las velocidades de los electrones que paricipan en la conducción eléctrica ordinaria. La cantidad de energía que se puede dar a un electrón en tales procesos de conducción, son del orden de microelectrón-voltios (ver ejemplo de conductor de cobre), de modo que solamente pueden participar aquellos electrones muy próximos a la energía de Fermi. La velocidad Fermi de estos electrones de conducción, se puede calcular por la energía de Fermi. Tabla Esta velocidad es parte de la ley de Ohm microscópica para la conducción eléctrica. Para un metal, la densidad de electrones de conducción puede deducirse de la energía de Fermi.

La energía de Fermi también juega un papel importante en la comprensión del misterio de por qué los electrones no contribuyen significativamente al calor específico de sólidos a temperaturas ordinarias, mientras que son contribuyentes dominantes a la conductividad térmica y la conductividad eléctrica. Dado que sólo una pequeña fracción de los electrones en un metal se encuentran dentro de la energía térmica kT de la energía de Fermi, están "congelados" de capacidad calorífica por el principio de Pauli. A temperaturas muy bajas, el calor específico de electrones se convierte en importante.

Función de Fermi

La función de Fermi f(E) da la probabilidad de que sean ocupados determinados estados de energía de electrones disponibles, a una temperatura dada. La función de Fermi viene de las estadísticas de Fermi-Dirac y tiene la forma

La naturaleza básica de esta función dice que a temperaturas ordinarias, están llenos la mayoría de niveles de hasta el nivel de Fermi E_F, y hay relativamente pocos electrones con energías por encima del nivel de Fermi. Este nivel es del orden de electrón-voltios (por ejemplo, 7 eV. en el cobre), mientras que la energía térmica kT, es solo alrededor de 0,026 eV a 300ºK. Si se ponen estos números en la función de Fermi a temperatura ordinaria, se encuentra que su valor es esencialmente 1 hasta el nivel de Fermil, y rapidamente se aproxima a cero por encima de él.

La ilustración de abajo muestra las implicaciones de la función de Fermi en la conductividad eléctrica de un semiconductor. La teoría de bandas de sólidos, da la imagen de que hay una diferencia considerable entre el nivel de Fermi, y la banda de conducción del semiconductor. A temperaturas más altas, una mayor fracción de los electrones pueden "puentear" este vacío y participar en la conducción eléctrica.

Note que aunque la función de Fermi tiene un valor finito en el hueco, no existe una población de electrones a estas energías (que es lo que quiere decir el hueco). La población depende del producto de la función de Fermi y la densidad de estados de electrones. Así, en el hueco no hay electrones debido a que la densidad de estados es cero. En la banda de conducción a 0ºK, no hay electrones aunque hay un montón de estados disponibles, pero la función de Fermi es cero. A altas temperaturas, tanto la densidad de estados como la función de Fermi tiene valores finitos en la banda de conducción, por lo que hay una población conductora finita.

Densidad de Estados de Energía

Población de la Banda de Conducción de un Semiconductor

La población de electrones de conducción de un semiconductor está dado por

Mostrar

donde

Se puede usar este cálculo para verificar que la población de electrones de conducción N_cb en el germanio se duplica con una elevación de temperatura de 13 grados aproximadamente. Para el silicio, N_cb se duplica con una elevación de temperatura de 8 grados aproximadamente. Debido a la mayor banda prohibida, en el silicio habrá menos electrones de conducción que en el germanio para una determinada temperatura.