Ecuación de Schrodinger Dependiente del Tiempo

La ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo en una dimensión espacial, tiene la forma


Para una partícula libre donde U(x) =0, la solución de la función de onda puede ponerse en la forma de una onda plana

Para otros problemas, el potencial U(x) sirve para establecer las condiciones de contorno en la parte espacial de la función de onda, y es útil para separar la ecuación en, la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, y la fórmula para la evolución en el tiempo de la función de onda


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Conceptos de la Ecuación de Schrödinger
 
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Función de Onda de Partícula Libre

En una partícula libre, la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, toma la forma


y dada la dependencia de tanto la posición como del tiempo, se intenta una función de onda de la forma


Suponiendo que la función de onda representa un estado de energía determinada E, la ecuación puede ser separada por el requisito

Procediendo separadamente con las ecuaciones de posición y de tiempo, y tomando las derivadas indicadas:

Tratando el sistema como una partícula, donde

Utilizando ahora la fórmula de De Broglie y la relación de onda:

Tratando el sistema como un paquete de ondas, o una entidad de tipo fotón, donde la hipótesis de Planck da

se puede evaluar la constante b

Esto da una solución de onda plana:

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Enfoque de la Partícula Libre con la Ecuación de Schrodinger
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Onda de Partícula Libre

La función de onda de partícula libre general es de la forma


que como función compleja, se puede expandir en la forma

Fórmula de Euler

Para una aplicación determinada de esta función, podría ser apropiada bien la parte real, o la parte imaginaria. En general, se está interesado en partículas que están libres dentro de alguna clase de contorno, que impone unas condiciones límites fijadas por algún tipo de potencial. El problema de la partícula en una caja, es el ejemplo mas simple.

La función de onda de partícula libre está asociada con un momento conocido con precisión:


pero el requisito para la normalización, hace que la amplitud de la onda tienda a cero, cuando la onda se extiende hasta el infinito (principio de incertidumbre).

Efecto TúnelPenetración de Barrera
Enfoque de la Partícula Libre con la Ecuación de Schrodinger
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Ecuación de Schrödinger Independiente del Tiempo

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión es de la forma

donde U (x) es la energía potencial, y E representa la energía del sistema. Es fácilmente generalizada a tres dimensiones, y se utiliza a menudo con coordenadas polares esféricas.

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Valores Propios de Energía

Para obtener valores específicos de energía, se opera sobre la función de onda, con el operador mecánico cuántico asociado con la energía, llamado hamiltoniano. La operación del hamiltoniano sobre la función de onda es la ecuación de Schrodinger. Existen soluciones para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, sólo para ciertos valores de energía, y estos valores se denominan "valores propios" de energía.

Por ejemplo, los valores propios de energía del oscilador armónico cuántico están dados por

Los estados vibracionales mas bajos de las moléculas diatómicas, se ajustan a menudo con el modelo del oscilador armónico cuántico con la suficiente precisión, para permitir la determinación de las constantes de la fuerza de adherencia de las moléculas.

Mientras que los valores propios de energía pueden ser discretos para pequeños valores, por lo general viene a ser continuo a energías suficientemente altas, porque el sistema ya no puede existir como un estado ligado. Para un potencial de oscilador armónico más realista (representando quizás una molécula diatómica), los autovalores de energía se acercan más y más cuando se aproximan a la energía de disociación. Los niveles de energía después de la disociación, pueden tomar los valores continuos asociados con las partículas libres.
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Ecuación de Schrodinger en 1-D

La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, es útil para encontrar valores de energía en sistemas de una dimensión

Comentarios Conceptuales

Esta ecuación es útil para el problema de partícula en una caja que produce:

Para evaluar la penetración de barrera, se calcula la función de onda en el interior de la barrera, que es de la forma:

El oscilador armónico cuántico en una dimensión es:

Esta es la función de onda del estado fundamental, donde y, es el desplazamiento desde el equilibrio.

Ecuación de Schrodinger en 3-D

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